Kettenregel

Die Kettenregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung einer Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Kettenregel:

$[f(g(x))]^\prime = f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x)$

$(u \circ v)^\prime(x_0) = u^\prime(v(x_0)) \cdot v^\prime(x_0)$

Im Zusammenhang mit der Kettenregel nennt man $u$ die äußere und $v$ die innere Funktion von $f$.

In einem neuronalen Netz wird der Ausgabewert eines Neurons der Eingabewert des nächsten Neurons. Und jedes Neuron nutzt eine differenzierbare Funktion.

Einfaches Beispiel ohne Kettenregel

Angenommen wir haben eine vom Gewicht abhängige Körpergröße g(Gewicht) = Gewicht * 2. Die Ableitung ist also 2.

Und nehmen wir ferne an wir haben eine von der Körpergröße abhängige Schuhgröße f(Körpergröße) = Körpergröße * 1/4. Die Ableitung ist also 1/4.

Wir benötigen hier die Ableitungen nicht und können Körpergröße in die Funktion für Schuhgröße stecken: Schuhgröße f(Körpergröße) = f(g(Gewicht)) = (Gewicht * 2) * 1/4 = Gewicht * 1/2

$Körpergröße = \dfrac{\partial Körpergröße}{\partial Gewicht} \cdot Gewicht$

$Schuhgröße = \dfrac{\partial Schuhgröße}{\partial Körpergröße} \cdot Körpergröße$

Anderes Beispiel wo die Kettenregel uns hilft

Angenommen der Hunger einer Person hängt ab von der Zeit die vergangen ist, seitdem die Person zuletzt gegessen hat, nach der Formel $Hunger = Time^2 +1/2$.

Und nehmen wir ferner an, das Verlangen nach Eiskreme hängt vom Hunger ab nach der Formel $Verlangen~nach~Eiskrem = \sqrt{Hunger}$.

Dann hängt das Verlangen nach Eiskreme ab von der Zeit seit dem letzten Essen wie folgt: $Verlangen~nach~Eiskrem = \sqrt{Time^2 +1/2}$

Aber wie ändert sich das Verlangen mit einer Änderung der Zeit? Ableitung ist hier kompliziert, daher hilft hier die Kettenregel:

Innere Ableitung: Ableitung von Hunger hängt ab von der Zeit seit dem letzten Essen: $Hunger = 2 \cdot Time$.

Äußere Ableitung: Ableitung von Verlangen nach Eiskreme hängt vom Hunger: $Verlangen~nach~Eiskrem = 1/2 \cdot Hunger^{-1/2} = \dfrac{1}{2 \sqrt(Hunger)}$.